如何证明表面积相同的时候，球的体积最大？

题主所问的其实就是等周不等式（isoperimetric inequality）的3D情形^[1]：

给定一个有界集 ，其表面积为 ，体积为 ，等周不等式表明

其中 是一个单位球。不等式仅当 是球时成立。

另外由此也能说明固定周长，圆的面积最大；

要严格讨论这个问题比较困难，比如排除那些性质比较诡异的曲面（当然我也不会），以下仅简要从3个角度说明一下此问题；

1.

首先给一个直观、通俗性的说明：

• 考虑一个候选曲面 ；
• 利用一个平面 对此曲面进行切割，使其分成等表面积的两部分 ；
• 比较 的体积大小，选取其中体积较大者（如 ）沿平面 做镜像对称得到 ;
• 综合 得到一个新的曲面 ，此时 与 的表面积相当，但体积显然更大；
• 不断重复上述操作，最终得到的曲面应是球对称的，于是在等表面积的情况下，球体的体积是最大的。

注意上述过程有助于理解，但这并不算证明！

2.

另外从物理上的表面能（surface energy）也可以很有趣的证实这件事情。

表面能是指创造物质表面时，破坏分子间作用力所需消耗的能量。在固体物理理论中，表面原子比物质内部的原子具有更多的能量，因此，根据能量最低原理，原子会自发的趋于物质内部而不是表面^[2]。

在真空中（没有重力的影响），可见水珠自发的形成了一个球形^[3]。在没有密度变化的情况下，即保证体积不变，依据能量最低原理，球体的表面积是最小的。这也反过来说明了表面积相同时，球的体积最大。

3.

通过变分法也能简单解释这件事情（注意以下说明并不严格）^[4]：

在球坐标下定义两个泛函（体积和表面积）为：

其中 。我们要计算给定表面积 时的体积 最大值，利用拉格朗日乘子法（method of Lagrange multipliers），考虑

利用欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange equation），我们得到方程

由此得到 ，显然它是一个球面，联系到另一组解 ，这也能说明了此时球的体积最大。