复数的乘法为什么会定义成这副样子？

在扩展已有概念的时候首先尝试的自然是沿用已有的性质。我们假设有这么一个对象 满足 ，首先会认为它有着和实数一样的四则运算性质（分配律、交换律、结合律等，不然应用起来会非常困难，将质疑这个新定义的价值），但它肯定不是实数，那么加法 就只能保持这样的形式，无法化简，就仿佛 是一个未知量一样；乘法同理。此时自然有

但这终究是一个启发性的探索，并没有严格说明满足这种性质的 存在。

不难注意到 与 是一一对应的，自然可以把复数乘法定义为
然后可以逐个验证这个定义真的满足交换律、结合律、分配律等数域的性质，这才证实了我们的猜测。最后定义 即可。

数对的思想其实不仅限于复数。假设我们已经定义了自然数相关的一切运算，在定义整数时，整数可以表示成一个自然数对 ，在直觉上它表示 ，那么两个整数相等时，即 时自然有 ，于是整数 与 相等（被定义为）当且仅当 ，这个定义只涉及自然数加法，且乍一看和整数之差的关联没那么强，但它确实是由一些不严谨的直觉引导出来的。