直线的一般式方程为什么是 Ax+By+C=0 ，而不是 λ^3x+(λ^2-1)y+μ=0？

发布时间：

2023-08-25 12:31

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因为无论是二维平面上的直线，或是三维里的平面还是直线，它们抽象出来更一般的概念都是线性空间 $V$ 里的子仿射空间 $A$ 。而仿射空间 $A$ 可以表示成 $V$ 中某个线性子空间 $N\leq V$ 的余集 $A=v_0+N, v_0 \in V$ 。如果要用一个「方程」来表示 $N$ ，其实隐含了 $N$ 是某个线性变换 $\tau : V\rightarrow W$ 的核 $N=\ker(\tau)=\left\{v\in V|\tau(v)=0\right\}$ ，那么此时 $v\in N$ 等价于 $\tau(v)=0$ ，那么我们就把 $A$ 表示成了「方程」的形式： $A=\left\{v\in V|\tau(v)-\tau(v_0)=0\right\}$ 。 $\tau(v)-\tau(v_0)=0$ 就可以说是 $A$ 的「方程」。把它写成分量就是直线或者平面的一般式方程了。