现代数学的潮流是什么？

谢邀。

我就提供一个最简单粗暴的标准：发文章多的，做的人多的方向，就是潮流。

比如微分几何这边，极小曲面就是潮流之一。无论是R^3里的极小曲面，还是流形里的极小曲面，都有太多太多没有解决的问题，而且也有一些正在发展、还不成熟的方法，比如min-max一类。今年普林的Antoine Song证明了极小曲面的里的丘成桐猜想：任何闭流形都存在无穷多极小超曲面，就是这个领域的里程碑式的工作——不过公平地说，功劳也不能全归在Song同学身上，起码有90%得靠Marques-Neves之前的min-max, Weyl law等等相关工作。而且这个领域这样子的大问题，以及可能做得动的小问题都有很多。

至于什么东西不是潮流呢？我做的正曲率就不是潮流。。说实话，在我上下三届的博士里面，在全美范围内，我没再见过第二个做正截面曲率的博士。。近10年美国做正曲率做得好的年轻人基本要么是我老板的，要么是Grove的学生。。这个领域难题倒是有，比如Hopf conjecture，但是问题是没有管用的方法，无论是大佬还是小弱都卡住了，做不出实质性的进展。最近10年好像也就方复全老师和Wilking等几个人真正做了点东西，他们也不是全职做正曲率，比如也做做Ricci flow啥的。

其实潮流不潮流什么的，倒不一定跟抽象程度、预备知识多寡有关。算术代数几何这几年也是潮流；是，这种东西确实需要学很多东西，也很难，但是你架不住全世界范围内优秀学生多啊。关键是得有问题，有方法，有东西可学——正曲率属于没东西可学。。算术几何的论文数量其实不算少的。