谢邀。 我就提供一个最简单粗暴的标准：发文章多的，做的人多的方向，就是潮流。 比如微分几何这边，极小曲面就是潮流之一。无论是R^3里的极小曲面，还是流形里的极小曲面，都有太多太多没有解决的问题，而且也有一些正在发展、还不成熟的方法，比如min-max一类。今年普林的Antoine Song证明了极小曲面的里的丘成桐猜想：任何闭流形都存在无穷多极小超曲面，就是这个领域的里程碑式的工作——不过公平地说，功劳也不能全归在Song…