学习复变函数是一种怎样的体验?

复分析为什么是神？在谈论这个问题之前，我想先说说其他数学相较于复分析究竟差在了哪里。

首先是犯下傲慢之罪的线性代数

均分没及格就露出不屑的笑，这种傲慢的课注定走不长远。事实也是如此。在学生们刚开始接触proof based课时，Linear Algebra Done Right的抽象程度可以震慑大家，但最终还是在抽象代数下泯然众人。与之相比神就很谦卑，Cauchy integral formula、留数定理是神留给凡人的慈悲；神不是不会，只是不想通过太tedious的题让同学失去对数学的兴趣所以故意不用。可笑有些人不理解神的良苦用心，竟然还用这些事来讥讽神，我劝你们好自为之。所谓Cayley-Hamilton Theorem也不过是Cauchy integral formula的引理的引理罢了。

然后是犯下愤怒之罪的抽象代数

因为有人说隔壁线性代数难就出更无中生有的定理，有人提到理论抽象就怒气冲冲地打出Category Theory，抽象代数在愤怒的支配下劝退了不可数的无辜的凡人。于是神降下了他的惩罚，抽象代数成了大多数学生最害怕的课，远不如神深受爱戴。

接着是犯下懒惰之罪的离散数学

自以为是一众专业的必修课就了不起了，在组合的路上一去不复返。另外大家有所不知，其实在离散数学闭上眼睛做冥想的时候，其脑海中看见的画面，正是站在光芒之中的复分析，那时神告诉他：“你只可到这里，不可越过。”然而，神的劝说不但没有让离散数学迷途知返，还正面挑战神的威严、声称神在组合的世界毫无用处。于是神降下了他的惩罚，离散数学在解析组合身败名裂。

再然后是犯下了嫉妒之罪的微分方程

屡次被神击败，但口服心不负的微分方程，暗中嫉妒着神，甚至胆敢当众说出“对应用数学学生来说，感觉神没多大意义”这种话。于是，在branch cut上，微分方程被神正面击溃。不过，念在微分方程最终皈依了神，并且践行神的意志将分析列为严肃微分方程的必修课，神应许了他在应用数学的至高地位。

犯下贪婪之罪的数学分析

仅仅研究在欧几里得测度空间的实变量函数，数学分析就成了所有数学系学生的必修课，而这，自然是因为神的应允。神本来钦定他为自己在人间的代言人，为此甚至不惜亲自为数学分析铺路，将一切复分析的荣耀都归给他。但最后数学分析却被利益蒙蔽了双眼，不再以践行神的理想为自己的理想，也不再聆听神的教诲，甚至自以荣光已经超过了神，竟允许学生说出“没必要学复分析，毕竟复变量函数就是实变量函数在R^2情况的特例”这种亵渎神尊严的言语。神的《新约·使徒行传》中先知萨特评价道“欲望要成为的东西，就是被填满的空无”：即，数学分析所贪求的普适性，就是他自我所欠缺的。神降下了惩罚，它的黎曼可积在勒贝格可积前毫无还手之力、Heine-Borel在非欧几里得测度空间里萎靡不振。从此无论是数学、物理、计算机的后期，数学分析失去了过去作为神选之子的垄断地位。

犯下暴食之罪的实分析

在神子数学分析堕落之后，神开始寻找下一个代言人，这一次，他选中了实分析。相较于神，实分析无疑是不完美的。他没有神化繁为简的朴素气质，也没有让学生不断拍案叫绝的完美理论，但神将丰饶、充满希望的流奶与蜜之地——分析——交给了他，使其成为整个分析领域的gateway。神认为或许是自己给的压力过大才导致了神子的堕落：正是因为其被重视，实分析时常给出巨量的课后作业、不可数的性质诡异的函数、和让人彻底疯狂的反例，不如神克己节制。实分析的贪多适得其反使得神的子民在学完测度论后就纷纷跑路。

最后，犯下淫欲之罪的几何

后来邪神用黑洞吸走了神的精气，神已经无力再惩罚实分析，只有信徒依旧在维护神的威严而已。此刻已经决心退隐的神在最后依然心系数学，于是他选中了第三位神子——几何。作为第三任神子，几何很好地维护了神的威严： 那些（虽然本来就很美的）复分析理论在几何尤其是复几何焕发出极度耀眼的光芒。但几何不满足于此，他用精美的插图吸引大量天真无邪的学生投奔自己，没想到一些年轻的学生没有仔细聆听神谕，发现自己分析没学好根本看不懂几何。几何妄图靠华丽的外表诱惑神的子民，让一些人成为好色之徒或名词党后才恍然大悟。自此，几何被称为伊甸园劝人偷食禁果的蛇，身败名裂，无人敢轻易靠近。

上半部分我们谈了其他数学相较于神的不足之处以及他们犯下的罪行，现在我们来谈谈神为什么是神，神为什么凌驾于其他数学之上，以及在他身上究竟有哪些美德值得我们去学习。

首先是…好的我扯不下去了

认真来说，还从来没有一门课能像复分析一样给我在短时间里带来那么多震撼：从Cauchy integral formula和它一系列惊艳的推论，到留数定理，到Dirichlet问题，再到Riemann映射定理。哪怕只是短短一学期，即使心是铁做的也化了吧 -w-