怎么学好音程？

音程的原理、推导和计算

本文的目的是写一套音程的“精”课程，相信想弄明白音程的同学们看完这篇文字基本上就达标了。而且，我也不想翻什么乐理书，就按自己的思路来就好。

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在知乎上回答音乐问题非常的麻烦。可能是因为我们拥有足够的敏主和太多的自由吧，所以在知乎上无法上传音频，上传视频也麻烦，也许是审查费劲怕我们民感了麻烦叔叔和领导吧。音程无论是柱式音程还是旋律音程，本来听一听看一看就很直观了，现在只好你们自己多想多写多练了。下面的内容，如果想学精了，不止是要看看我这些文字，而且还是要多练习吧。练习需要手头上有钢琴，如果各位手头上没有，建议手机下载《完美钢琴》（阿呀我晕，这完美钢琴应该给我分多少广告费啊），个人认为它是又好用又够用的手机钢琴软件。如果各位看知乎用的也是手机，那只好建议你在你的老公、老婆、父母亲、兄弟姐妹、同学、同事、闺蜜、损友中某一位的手机上下载《完美钢琴》了，这样你就可以一边在知乎手机上学乐理，一边在钢琴手机上练乐理了。

本文开始写于2023年2月12日上午，结束于2023年2月20日。

一、音程的原理及一点点的前置知识

下面我们所讨论的一切，都是建立在十二平均律的基础上的。

另外，无论您学的是五线谱还是简谱，我们都用简谱中的C=1（即C大调）中的1234567来表示音程关系（让我在知乎上画百十来张五线谱图臣妾做不到，而且先只玩白键或说C大调的基本音总比玩别的容易），您可以自己把它替换成CDEFGAB（结果是相同的），以及别的大调（音程关系与调式调性都无关，所有调的音程关系都与C大调的完全相同）。

什么叫音程？

音程是指两个音之间的“路程”。或者说，是一个音和另一个音之间的“距离”，看两个音相差多“远”，比如说八度比五度的音程更大，比如说27比25的音程更大，比如说6个半音比3个半音更大。

音（乐音、音高）都是有固定频率的，用赫兹（Hz)表示，在20Hz~20000Hz之间，但音程不是频率关系，是两个音之间的相对关系或者说“距离”关系，是两个频率之间的比例关系（无论是五度相生律、纯律还是十二平均律等，所有律制的音程都是两个音的相对关系，都是比例关系，两个频率的比例关系），是无量纲的纯数字，而不是频率。这是我见过的所有乐理书中都不怎么强调的，但这才是基本的东西。

音程的计算有两种模式，一个是半音关系（几个半音或几个全音），一个是度的关系（比如大三度和纯五度等等），这两种模式都要懂，也将在后面统一起来。

还有，实际音程的计算，有两种情况。比如说讨论135的音程：13，大三度，4个半音；35，小三度，3个半音；15，纯五度，7个半音。如果是135同时发音，这就是柱式音程，即我们平时说的和声音程关系，这个135构成了大三主和弦；如果是先1后3再5，那就构成旋律了，135就是旋律音程，比如说国歌《义勇军进行曲》里第一句的135565，再比如说《蓝色多瑙河》里第一句的135，11355……等等，都是旋律。由于目前我们只讨论音程关系，就不管是柱式还是旋律了，一并讨论了。当然，旋律音程的确有一点点的特殊性，就是存在上行和下行，比如说13就是在上行（1低3高，由低到高），而31就是在下行（1低3高，由高到低）。以后无论是上行还是下行，我们把低音都叫根音，把高音都叫冠音。以后都是讨论由根音到冠音是多少音程，而不再考虑是上行还是下行，并且都表示为根音在左冠音在右。比如说无论是13这样的上行还是31这样的下行，音程都是从1到3（从根音到冠音）的4个半音、大三度，并且都表示成1 3。另外，如果表示成52这种冠音数字小于根音数字的，那就是从5开始上行，56712，从5到更高一组的2（比如说从低音组的5到中音组的2，或者从中音组的5上行到高音组的2），为避免大家误会，以后除非特殊例子特殊声明，否则音程都表示为左边为根音右边为冠音，冠音一定会大于等于根音，不会小于根音；另外如果是41、53、76这样的冠音在更高一组时，会表示成41、53、76，即把冠音加粗加黑。加粗加黑的数字用来表示更高一组的音，这也是没办法的变通，因为在知乎上在数字下面加点或数字上面加点以表示低、高音以用来区分不同组的音是我做不到的事。

为了讨论音程，先给出一些前置知识：乐音及分布。至于说五线谱或简谱，要自己懂，不懂还学什么乐理，也就相当于不会数字就学加减乘除，那不太现实了。

钢琴上有88个键，分为七组（也可以当成九组，因为这七组的前面和后面还有两组残缺组，分别有3个键和1个键），每一组都长得一模一样，象七个葫芦娃兄弟。请自己把这七组找出来。如果找起来困难，请看后面的图三（图三是两组相邻的葫芦娃）。

再随手在网上找到一张图片，见图二，这是其中任何一组葫芦娃，分别是白键1234567以及它们上面的那五个黑键，每组音12个键（12个音），七白五黑。键的分法是看两组五个黑键，仨一帮俩一伙，俩一伙在前，仨一帮在后；俩一伙下面对应的是白键123、仨一帮下面对应的是白键4567。

白键是基本音，分别是1234567；黑键是变化音，从前往后分别是(#1,b2)、(#2,b3)、(#4,b5)、(#5,b6)、(#6,b7)。其中#号读做“升”，b号读做“降”，比如说(#2,b3)是同一个黑键，读做“升2，降3”，表示的就是比2高同时又比3低的那个黑键。见图三。

注意到了吗？黑键上的音如果是#m，那它同时也会是b(m+1) (m为1，2，4，5，6）；反过来，黑键上的音如果是bn，那它同时也会是#(n-1) (n为2，3，5，6，7）。请用这种方法选择几个音做例子，练习一下熟悉一下。

再把音的知识扩展一下：从图三上可以看到，每个黑键有两个音，5个黑键10个音，再加上7个白键，应该一共有17个音。这17个音就是我们最常用的。但是，实际上，所有的基本音（1234567）都可以升（#）和降（b），这样是21个音。17个音之外的四个音是：7（b1)、1(#7)、3(b3)和4（#3）。只是这四个音只有在五线谱各调的升号降号中能看到，在简谱中基本看不到。

基本音（1234567）不仅可以升（#）和降（b），而且可以重升（x）和重降（bb），即在基本音的基础上加两个半音和减两个半音。这样一组键的音一共是7 5=35个。

很多人对这图三和图四中的“全全半全全全半”都特别的熟，所以对此很不屑一顾。其实由此为前置知识，乐理的核心之一——音程，是很容易学习并且很容易精通的。

以后验算音程时就可以用图五去验算。比如说2 6之间音程为纯五度，7个半音。在这张图上就可以查一下，23456，五个数，嗯，是五度；2黑白白黑白黑6，8个键，7个半音，对了。的确是纯五度。

二、半 音

半音很重要。我甚至认为把半音搞明白了，音程就全过关了。

半音是什么？半音是音程中最小单位，也是最小音程，是两个相邻的音之间的音程（距离）。

小心再小心，半音不是音高，而是音程，是两个音之间的距离。

音程是比例关系，当然半音也不例外。那么半音是多少呢？半音= 1.059463，即半音等于2开12次方，即半音的两个音的频率相差1.059463倍。

那么两个半音是多少？八个半音又是多少？…………

0个半音= = =1.00000 （呵呵，纯一度）

1个半音= = =1.05946

2个半音= = =1.12246

3个半音= = =1.18920

4个半音= = =1.25992（接近1.25，即5/4，这个是大三度）

5个半音= = =1.33483（接近4/3=1.333，这个是纯四度）

6个半音= = =1.41421

7个半音= = =1.49831（特别接近1.5，即3/2，这个就是纯五度）

8个半音= = =1.58740

9个半音= = =1.68179

10个半音= = =1.78180

11个半音= = =1.88775

12个半音= = =2.00000 （整2倍的频率关系，即相差八度了）

以上的数值，大家不用记的。这个也是我才用计算器算出来的。大家知道几个半音就是半音数值的几次方就够了。

那么图四中，从1到1这个八度内，有多少个半音呢？图中标出了两个半音，你会不会认为从1到1是两个半音呢？

认为是两个半音当然不算错，因为从1到1，基本音的音程中只有两个半音，分别是3 4和7 1之间是半音，其余的五个都是全音（两个半音）。但是我们想一想，全音就是两个半音啊，那么五个全音不就另包含了十个半音了么？所以，从1到1，是有十二个半音的。请自己找出这十二个半音。

（给出答案，分别是：[1 (#1,b2)]、[(#1,b2) 2]、[2 (#2,b3)]、[(#2,b3) 3]、[3 4]、[4 (#4,b5)]、[(#4,b5) 5]、[5 (#5,b6)]、[(#5,b6) 6]、[6 (#6,b7)]、[(#6,b7) 7]、[71]，共十二个半音）

这个例子说明：只考虑基本音（1234567）要简单得多，与同时考虑基本音和变化音（带升降号的音）的难度和结果完全不同。那么第一步，我们先只考虑基本音之间的音程。放心吧，之后只要一推广，所有音之间的音程就出来了。大家将会看到，这很容易，一点都不难。

说句题外话：为什么咱们现在学的音乐的律制叫十二平均律？因为八度都正好12个半音。每一个八度，都有十三个键（任何一个八度，结果都一样)，这十三个键是被十二个半音“平均分配”的，所以叫十二平均律。这个答案可能和大家想的可能不太一样吧？

再说句很重要的题外话：升号#和降号b还代表什么呢？升（#）代表在原来音的基础上升一个半音，得到一个高出半音的新的音、而降（b)代表在原来音的基础上降一个半音，得到一个低出半音的新的音。比如说#2，就是在2的基础上加半音，即2 #2之间的音程就是半音；再比如说b6，就是在6的基础上减半音，即b6 6之间的音程也是半音。我们甚至可以直接说：bm m之间的音程是半音、n #n之间的音程也是半音（其中m和n代表基本音中的任何一个，即1234567中的任何一个）。

当然，重升号x和重降号bb也同样代表在原来音的基础上升两个半音和在原来音的基础上降两个半音。

在图三和图四中，全音就是两个半音。为什么这里有五个全音呢？因为全音都是两个音中间又隔了一个音（这里被隔的音正好是黑键而已）。比如说5 6 之间的音程是全音，是因为5和6之间还有一个黑键的变化音，为（#5,b6)，而[5 (#5,b6)]和[(#5,b6) 6]之间的音程就是半音，或者说[5 (#5,b6)]这两个音之间是半音关系、[(#5,b6) 6]这两个音之间是半音关系，这个5 6就变成了两个半音，或者叫全音了。

反正我个人，对全音很熟，但无感，不太重视，见到全音这样的词就自动脑补转换为两个半音。但我对半音非常非常重视。

那么半音和另一套音程系统，也是大家最常用的二度三度五度八度之类的音程系统是什么关系呢？是完全对应的关系。下面我给出它们的对应关系。当然，目前大家不用记住这些对应关系，只要知道有这种关系就行。因为随着后面的学习和计算，大家会自然而然的理解和记住这些关系的，并且能够自己很方便地推导出来。

0个半音 纯一度

1个半音 小二度

2个半音 大二度

3个半音 小三度

4个半音 大三度

5个半音 纯四度

6个半音 三全音（增四度或减五度）

7个半音 纯五度

8个半音 小六度

9个半音 大六度

10个半音 小七度

11个半音 大七度

12个半音 纯八度

三、音程度的原理、几度的推导和计算方法，与玩命吐槽

我这篇文章不是教科书，所以在这小节里想多吐些槽。你们幸运的是，吐槽也是乐理，而且是你们在教材和书里看不到，平时也完全不知道或想不到的，在这里能多掌握一点知识挺好的。

音程是乐理的重要基础和核心内容，这没问题。但全世界的音程内容，无论是学院派还是草根派，哪怕是民科，谈音程必称这是几度，除了几度还要分大小纯增减甚至倍增倍减，否则不但音程玩不转，以它为基础的未来所有的课程，包括和声学、作曲、律制就全玩不转，所以这的确是不学不行，不懂不行。本来很简单的从0半音到12半音，十三个数字解决的问题，非常简单的问题，结果是卷帙浩繁，穷经皓首，可以养活一代代的乐理人，再弄得一代代学子晕头转向。这都算神马玩艺儿啊？

但是既然要这么玩，不玩不行，那我们就把它玩好玩明白了，玩得熟熟的。下面就听我给大家慢慢讲明白喽。

无论是哪个音程，是小三度还是增四度，我是推导得多了算得多了，一眼就可以看出来。但这个度是怎么来的，为什么这个叫小六度而不叫别的，为什么那个叫纯八度而不叫别的，这个度在音乐史上是如何产生的如何演变的如何发展的，是谁、是为什么把这东西叫“度”，叫几度，是大是小是增是减还是纯，我在书上和网上是真没找到源头。如果有懂的方家，务请告诉我，感谢感谢感谢哈。

但我内心是有非常强烈的感觉的。这个“度”，应该是来源于我们右手手指和钢琴键。

任何一个只要玩过钢琴的人（不管玩得怎么样）都会知道，最基本的原位顺指指法中，把右手五个手指按顺序放在五个连续的白键上，就是五度。右手的五指，大姆指、食指、中指、无名指、小指，分别编号为1、2、3、4、5指，这五指中，1指就是根音就是一度、2指就是二度、3指就是三度、4指就是四度、5指就是五度。

比如图六（弹《龙的传人》）中，五指分别落在6、7、1、2、3上，1指为6，6就是根音，66就是一度；2指为7，2指的7就是二度（准确地说，应该是2指与1指构成二度，即2指的7与根音6构成二度，6 7为二度）；同理，3指就是三度（6 1为三度）、4指就是四度（6 2为四度）、5指就是五度（6 3为五度）。

妥妥的，最开始的五度一定就是这么产生的。五度来了，八度还会远吗？玩玩别的指法也就做到了。

总而言之，度，是音程衡量单位，是音与音之间距离。一个八度之内，一度最小，八度最大。看音程是几度，大致就能知道音与音之间距离的大小。

下面给出度的推导和计算方法。

推导方法一：可以用手去指着图五中的钢琴键盘的白键查数，查一共几个键。以任何一个音为开端，以这个音为数字1，无论是向左（下行）还是向右（上行），查数，查到另一个要找到的音。那么得到的数就是这两个音的度数。

如果根音是键盘中的黑键（变化音）时怎么办呢？以后会在变化音中讲到。

比如说，我从图四的白键6开始向右查，指着白键6嘴里查1，那么6本身为一度（6 6为一度）；向右，指着7键嘴里查到2，那么6 7是二度；再向右，指着6，7，1，2，3，4，5键，嘴里查1，2，3，4，5，6，7（嘴里查7就是7个键的意思），那么6 5就是7度了。

向左查也一样，只不过这里白键6不再是根音，而是变成了冠音，但查数方法还是一样的，就是一共查了几个键，就是几度。比如说从白键6开始向左查到白键2，65432，嘴里指着键查12345，好的，2 6为五度。

推导方法二：用 手去指着1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 这两组音阶（主要是一组音阶计算度数有时不够用），从任何一个音为开端，用查钢琴键盘的方法去数数，数到另一个要找到的音。那么得到的数就是这两个音的度数。

这两种方法的原理是一样的。

计算方法：

有两个音，基音为m，冠音为n，那么m n的度数为：

1+n-m （m n中m n，或者说一组里的两个音就这么算）或

8+n-m （m n中m>n，或者说这两个音跨越两组时就这么算）

这里的m和n，为1234567，虽然我们把它们读做都来咪发嗖拉西，但计算时，我们要把它们当成数字1234567，其实前文中出现的m和n，也是有一样的特征。

这个计算方法还是容易推导出来的，推导过程从略。这里多举几个例子，以说明如何计算的。

1 5（1+5-1=5，五度）； 3 6（1+6-3=4，四度）；#2 4（1+4-2=3，三度）；2 b7（1+7-2=6，六度）；#4 b6（1+6-4=3，三度）；3 3（1+3-3=1，一度）；

3 1（8+1-3=6，六度）；b7 6（8+6-7=7，七度）；#5 2（8+2-5=5，五度）；b6 b2（8+2-6=4，四度）；4 1（8+1-4=5，五度）；7 1（8+1-7=2，二度）

也就是说，在计算中如果出现了变化音，就按它的基本音进行计算即可。

无论是推导还是计算，总之大家熟练掌握一种方法，就可以正确得到两个音的音程度数。

正事儿说完，接着吐槽：怎么看，这“度”的来源，或者说“度”的产生以及计算方法就是历史上某位不知名的钢琴（或它的前身羽管键琴）家为了方便演奏、教学和计算（手在琴上一搭就知道是几度了，很方便）而创造出来的，因为方便所以以后大家都这么用了，并且成了乐理的主流和基础了。他是方便了，但有很不合理的地方，这位大哥（从岁数上讲可能是我们的祖祖爷爷了）明显不懂数理分析，以此为基础发展乐理的音乐家们也都是一帮不懂数理的家伙，结果乐理发展得就既不合理也不方便了。等再有人发现毛病已经积重难返，全世界人民都在这么用，不这么用还不行了。

不合理的地方在哪里？

度是什么？度是音程，是音与音的“距离”。以中央C（就是中央区的白键1）做根音为例：

1 1（一度），1 2（二度），1 3（三度），1 4（四度），1 5（五度），1 6（六度），1 7（七度），1 1（八度）。这个1 1就是键1到键1本身，它在原地没动，有“距离”么？距离为零啊，你特么的告诉我这是一度，有一度的距离？如果一度的距离是零，以它为标准，一千万亿度的距离也是零嘛，你是要制造中子星还是要玩宇宙大爆炸？

我们把这个问题化为楼房问题，想象一下这是一个八层楼的楼房。你这个一度就是从一楼爬到一楼（这怎么爬？你爬了吗？是趴好吗？而且是死狗趴好吗？你爬什么了？你在一楼一直挺尸好吧？）；你这个三度就是从一楼爬到三楼，爬了两层楼你叫三度；你这个七度就是从一楼爬到七楼，也只是爬了六层嘛。

如果大家还没太转过弯来，我们再想象一下我种了八棵树，分别编号为12345671，每棵树相隔一米的距离（其实3 4和7 1这几棵树之间按乐理讲应该是半米，半音嘛。但按度数算的时候可以认为都是一米），这个“距离”的大小才应该是度数做为音程反映出的东西，两棵树相隔几米算是几度才是最合理的吧？现在，1树到4树，距离3米，叫四度、3树到7树，距离4米，叫五度、2树到3树，距离1米，叫二度，你别扭不别扭？最别扭的当然是5树到5树，距离0米，你管它叫一度。

再换个思路，我们把度当成我们韭菜们的月薪。一度就是一万元，最高是八度，月薪八万（这个就真不高了，年薪不到百万，而三体总制片人总出品人林奇，发给毒死他的许垚的年薪是好几千万元的，这还是打工仔，至于许皮带和全民老公那样的就更不用说了）。别忘了我们的制度有无比优越性的前提下，人口占大多数的农民们，一辈子劳作，连退休金和劳保都没有，你个一度是相当于什么都不干，混吃等死每月一万元，再好一好连食品和医疗都特供了，凭什么呀？凭你命贵吗？凭你从非洲来留学吗？

怎么才算是合理的，当然现在的度数减掉一，建立一个新的量纲（新的量纲不能叫度了，否则这个音乐世界全乱套了），叫什么名呢？叫什么都行，能为大家认可并都统一应用就行。我随手取一个名字叫“派”吧，a度=(a-1)派。（我叫它“派”，是一个恶趣味，因为数学上，360度=2派（ ），度和派本身是有紧密关联的）

因为不合理，所以在乐理上应用就会不方便。下面我手绘一张图，举几个例子，说明“度”这个音程单位会如何不方便。每个例子，我都会用半音、度和“派”做对比，大家看完就对这几种音程单位的好坏一目了然了。

从上面的所有例子（而且不会有反例）都能看出，用半音和“派”去分析是很简单很方便也非常合理，而用度去分析就很麻烦。

例1是一个音程转位分析：

纯四度+纯五度=纯八度

纯三派+纯四派=纯七派

7半音+5半音=12半音

例2是对下属三和弦（大和弦）的音程分析：

大三度+小三度=纯五度

大二派+小二派=纯四派

4半音+3半音=7半音

例3是对一个小三和弦的音程分析：

小三度+大三度=纯五度

小二派+大二派=纯四派

3半音+4半音=7半音

例4是对一个三和弦的转位进行音程分析：

纯四度+大三度=大六度

纯三派+大二派=大五派

5半音+4半音=9半音

例5则是对一个大小七和弦进行的音程分析：

大三度+小三度+小三度=小七度

大二派+小二派+小二派=小六派

4半音+3半音+3半音=10半音

看看，谁方便，谁太不方便，而且数理方面很不讲理？你让历代音乐生去脑袋转筋去分析纯几度加大几度等于什么度，亏不亏啊？但是无论如何，现在乐理上讲的就是这个，没办法，想把它弄明白，跟我走起吧。

吐槽暂时告一段落，下面开讲核心部分：从纯一度到纯八度。注意，千万别死记硬背，跟上我的思路，你会很灵活很熟练掌握的。

四、基本音，从纯一度到纯五度的推导（夹带一个纯八度，不含四度）

（1） 纯一度

从前一节讲过的度的推导和计算包括前面的吐槽可以知道，一度非常简单，一共7组，是指：

1 1；2 2；3 3；4 4；5 5；6 6；7 7

很容易知道，所有的这些一度，音程都相同，半音数都为0，一度的大小都一样，所以是“纯”的，所以这些一度都是纯一度。

纯一度在乐理上是最协和的。当然，就它自己一个音在玩，能不协和么？

但协和不协和，往往指的是合声效果，而不是指旋律。这纯一度的合声怎么表现协合，我还真不知道，我连怎么在琴上弄出1 1这种柱式和弦都不知道。真需要用两个手指同时按一个键么(^_^)？

但纯一度在旋律中是很常见的。我能想到几十首歌和曲子有纯一度。找一个大家应该都会的吧：《中国人民解放军进行曲》（原《八路军进行曲》，也叫军歌），第一句（引子），歌词是：向前向前向前！，谱子是：1 1 1 1 1 1，请在钢琴上弹一下谱子同时嘴里唱一下歌词吧，找找纯一度的效果和感觉（这还用找么，呵呵）。我倒是建议您再向下找到6，用同样节奏弹一下6 6 6 6 6 6（同样同时嘴里唱向前向前向前），再向上找到#4，用同样节奏弹一下#4 #4 #4 #4 #4 #4（同样同时嘴里唱向前向前向前）。品一品，几种弹奏和歌唱有什么样的感觉（同样的音程，都是纯一度，音高不同而已）。

总结一下，也请大家在理解的基础上记一下：基本音中，一度都是纯一度，半音数为0，共7组，分别是

1 1；2 2；3 3；4 4；5 5；6 6；7 7

（2） 纯八度

这个纯八度也同样非常好理解：任意一组键上任何的一个音，跳到相邻组的相同的这个音，音程就是八度，而且前面内容提到过十二平均律，已经暗示（其实可以推导出）八度都是12个半音。当然，按前面讲过的度的推导和计算方法也可以找出这些八度来。

所有的这些八度，音程都相同，半音数都为12，所以八度音程的大小都一样，所以是“纯”的，所以这些八度都是纯八度。

纯八度一共7组，是指：

1 1；2 2；3 3；4 4；5 5；6 6；7 7

任何一个音和它的纯八度音的关系都极为友好，有些象同卵的双胞胎兄弟。虽然它们的音高相差很大，但性质几乎一样，甚至听觉上都一样，所以拥有完全相同的音名和唱名。

纯八度在乐理上也是最协和的。虽然两个音的音高不同（冠音的频率正好是根音频率的2倍），但柱式音程听起来完全没有违和感。举个例子，我们都听过孙楠和韩红共同唱过的《美丽的神话》，他们的齐唱部分就是两声部相差纯八度音程的演唱。这两个人的演唱，虽然两个人的音高相差很大，但听起来象同一个人的演唱一样（其实要比一个人演唱时还要动听），完全没有违和感。这是因为，女生声音先天方面就比男生的声音高（而且高出一个纯八度来），那么让他们共同演唱同一首歌时，女声就比男声高出一个纯八度，男女声自然就形成了纯八度的柱式音程。

纯八度在旋律上也有一些，还算很常见（其实哪种音程在旋律上都常见，除了三全音很罕见外）。因为两个音的音高相差很大（12个半音，跨越了八度），跳进的感觉很凶。随手找出几个带纯八度的曲子：好汉歌（大河向东流哇）、好久不见、对面的女孩看过来、爱的代价、祝你生日快乐，这些纯八度基本都是上行。我印象中，1984年春节联欢晚会上张明敏唱的《垄上行》，”枝头树叶金黄 风来声瑟瑟“一句，同时带有纯八度上行和纯八度下行（谱子为：111765，11543）。请在网上找到《垄上行》的音频或视频，听一听最好是唱一唱纯八度上行和下行的感觉。其实只要唱明白这一句，纯八度的唱谱就过关了，因为所有八度的感觉都是一样的。再往深入里想，比如说

3 3无非就是E=1时的1 1；6 6就是A=1时的1 1而已嘛。

总结一下：基本音中，八度都是纯八度，半音数为12，共7组，分别是

1 1；2 2；3 3；4 4；5 5；6 6；7 7

（3） 小二度和大二度

前面的纯一度和纯八度都非常的简单，也很好记忆和理解。

从小二度开始，就需要大家跟我一起动脑，光靠记是很笨的方法，最好就是和我一起推导和计算。

几度怎样推导和计算，前一节已经专门讲过，以后就不重复了。

对于二度，就是音阶12345671中相邻的基本音为二度（可不是相邻的键，比如说对于56来说，是相邻的基本音，但56这两个键中间，还夹着一个叫(#5,b6)的黑键。即二度有7组，分别是：

1 2；2 3；3 4；4 5；5 6；6 7；7 1

再看图三或图四，标着全全半全全全半。因为这几张图都离得太远了，为方便大家，我把图四重新搬到了这里：

这张图是什么意思呢？这七组2度中，1 2是全音；2 3是全音；3 4是半音；4 5是全音；5 6是全音；6 7是全音；7 1是半音。 总之这七组2度中，5个全音，2个半音。

这很好理解（而且非常希望你们能理解，这很重要）：2度音程，一共7组，其中1 2；2 3；4 5；5 6；6 7这五组2度，都是两个白键中间夹着一个黑键，即都是2个半音关系（在这里叫全音）；只有3 4和7 1这两组2度，是两个白键紧挨着的，是真正的半音关系。

就是说，2度音程，竟然不一样，有5组是2个半音，有2组是1个半音。2度音程竟然分出了大小。

我们把全全半全全全半用另两种语言重新翻译一下：

二度分为两种，其中：

全，半音数为2，在二度里就是大的，称为大二度；

半，半音数为1，在二度里就是小的，称为小二度。小二度就是半音，已经是音程中最小的单位了。

理解了吗？记住了吗？二度有7组，其中，只有3 4和7 1是小二度（半音），其余的都是大二度（2个半音）。

先总结一下：基本音中，二度共7组，分别是：

小二度（半音数为1，共2组）：　　　　　3 4；　　　　　　　7 1

大二度（半音数为2，共5组）：1 2；2 3；　　4 5；5 6；6 7

再讨论一下二度的性质和特点吧。

二度都是不协和音程，其中小二度极不协和，而大二度也很不协和。请在钢琴上弹奏柱式音程小二度3 4、7 1和大二度1 2、2 3、4 5、5 6、6 7，分别体会小二度和大二度的不协和性。

无论是柱式音程还是旋律音程，所有的小二度都是一样的，所有的大二度也都是一样的，因为它们的音程是相同的，除了调性不同。

其实我们平时唱音阶12345671，17654321，唱的就是连续的旋律音程为二度的上行和下行。

再深入讨论一下二度旋律音程的性质吧：以一首大家都熟悉的歌为例，儿歌《找朋友》，第一句：“找呀找呀找朋友”，谱子是：5656565，这就是大二度的乐句。弹一下，同时跟唱。

之后，把谱子分别换成1212121、2323232、4545454、6767676，并分别弹奏并跟唱，你会发现，呀哈，竟然味道都对，都可以用来唱“找呀找呀找朋友”。为什么呢？因为这个乐句，用上面哪个谱子，音程关系都没发生变化啊，是一样的大二度上行和下行关系啊。

再之后，把谱子换成3434343，弹一下，跟着唱。这回不对了，怎么听都跑调了。跑调就对了，因为音程关系变了，变成了小二度上下行关系了。那么怎么改一下呢？也好办啊，把谱子改成

3 #4 3 #4 3 #4 3，找呀找呀找朋友

这回对味儿了，因为现在这个谱子与原谱拥有同样的音程关系。

再举一个例子吧：大家熟悉的曲子里有几首是纯粹二度的歌曲（这也说明协和不协和，与旋律关系不大，否则旋律里不会出现大量的二度音程了），如：贝多芬《欢乐颂》、侯德健《龙的传人》、爱尔兰民歌《多年以前》，这里以《可爱的一朵玫瑰花》为例：

谱子为：1 2 3，4 5 4 3 2—，歌词为：可爱的一朵玫瑰花

现在我把谱子改得面目全非：

4 5 6，b7 1 b7 6 5—，或者：

5 6 7，1 2 1 7 6—，甚至把它改得非常面目可憎：

#1 #2 #3，#4 #5 #4 #3 #2—（#3键就是白键4键，但谱子里不能写做4，只能写做#3）

b5 b6 b7，b1 b2 b1 b7 b6—(b1键就是白键7键，同样，谱子里不能写做7，只能写做b1，至于为什么，以后再讨论）

弹一下，再跟唱一下“可爱的一朵玫瑰花”吧，你会发现，哇哈哈，无论哪一个谱子，竟然真的都是这一句歌词的谱子。

这是因为，无论是哪个谱子，音程关系都是一样的，都是“大二上行、大二上行、小二上行、大二上行、大二下行、小二下行、大二下行”。音程关系一样，如果节奏也一样，那么这就都是完全相同的旋律，只是调性不同（如果有朋友认识五线谱，已经能看出来，它们分别是C大调、F大调、G大调、#C大调、bG大调中的1 2 3，4 5 4 3 2—，只是全用固定音名法或者说用C=1表现出来了）。

如果有朋友对这个曲子不熟，那你们用《欢乐颂》或《龙的传人》试一试也完全可以的。

这两个例子说明了我从纯一度开始就一直强调的：所有的纯一度是一样的、所有的纯八度是一样的、所有的小二度是一样的、所有的大二度是一样的…………除了由于它们本身音高不同，所以调性不同外，它们所有的性质都是相同的。

（4） 小三度和大三度

从三度开始，推导和计算度数，图四就不够用了，要用图五的两组音阶来查度数（更熟练时，只用手指也马上可以算出来）。但是，前面说过的二度中3 4和7 1是半音小二度，其余都是全音大二度，是需要大家不假思索地熟练掌握的，不只是分出小二度和大二度，而且也是推导后面度数的基础。

很明显，根据推导和计算度数的方法，很容易知道，在基本音中，三度音程共7组，分别是：

1 3；2 4；3 5；4 6；5 7；6 1；7 2

如果说二度是音阶中的音挨着来 ，那么三度就是音阶中的音跳着来的。另外，学过五线谱的人知道，三度就是相邻的线或相邻的间。

我们以二度为基础分析一下三度音程的大小：

分析和计算的结果是，三度也有两种不同的音程，一种是全音+全音，即4个半音，有3组，分别为1 3、4 6、5 7；另一种是一个全音和一个半音，即3个半音，有4组，分别为2 4、3 5、6 1和7 2。

当然了，很好理解，同样是三度音程，也因为半音数的不同，分出了大小。4个半音大，叫大三度、3个半音小，叫小三度（^_^）。

总结一下：基本音中，三度共7组，分别是：

小三度（半音数为3，共4组）：　　2 4；3 5；　　　　 6 1；7 2

大三度（半音数为4，共3组）：1 3；　　　　 4 6；5 7

协和性方面，小三度不协和、大三度不够协和，但都比二度强多啦。请在钢琴上用小三度和大三度柱式音程弹奏，听听效果。

旋律方面，大三度和小三度都比较常见，但如果让我找出都是由三度构成的长乐句，我还做不到。所以也不举例了。在前面解释柱式音程和旋律音程时我倒是举了两个135乐句的例子。

这小三度和大三度看起来要比小二度和大二度复杂一些，但哪些是小三度、哪些是大三度，也需要非常熟练地记住。其实有几个办法推导和记忆：

方法一：看全全半全全全半，很显然，全全就是大三度，根据图四，能全全的，也就是全全（半）和全全全（半）里有全全，能分出来的全全就三种：1 3、4 6、5 7。这就是3组大三度。

方法二：看全全半全全全半，能路过（半）的三度，就是小三度。半只有两种，分别是3 4和7 1，从前面路过（半）的（全+半）是2 4和6 1，从后面路过（半）的（半+全）是3 5和7 2。所以小三度有4组，分别是2 4、3 5、6 1和7 2。

方法三：反正学乐理不止要学音程，还要学合声学，要学和弦，那我们就正好在学三度音程时把和弦也一起弄，弄和弦的过程中也就把三度音程弄明白了。下了一次厨房能做出两桌子好菜，很划算的。如果知道一点和弦，那么用它记三度一目了然、如果你完全不知道和弦，那么在学三度的过程中也就懂了一些和弦知识。下面我就讲一点和弦吧。

和弦是指有一定音程关系的一组声音，按照三度的叠加关系排列。其中最简单也最基础的就是三和弦（三个音的和弦）。因为是三个音叠加了，所以不能叫根音和冠音了，而是叫做根音、三音（与根音相差三度的音）和五音（与根音相差五度的音）。如果想再往上叠加音构成更复杂的和弦，新的音就叫七音、九音、……

在五线谱上，三和弦就是三根相邻的线或三个相邻的间。

三度叠加当然容易，基本音构成的三和弦也只有七组，分别是：

1 3 5；2 4 6；3 5 7；4 6 1；5 7 2；6 1 3；7 2 4。

这7组和弦都需要大家记住。其中，大三和弦（简称大和弦）的构成是大三度+小三度，有3组，分别是：

1 3 5（主和弦）；4 6 1（下属和弦）和5 7 2（属和弦）。也就是说１ 3、4 6和5 7是大三度；3 5、6 1和7 2是小三度。

小三和弦（简称小和弦）的构成是小三度+大三度，也有3组，分别是：

2 4 6；3 5 7和6 1 3。也就是说2 4、3 5和6 1是小三度；4 6、5 7和1 3是大三度。

剩下一组，7 2 4，是由小三度+小三度构成的，叫减三和弦。即7 2和2 4都是小三度。

即，基本音组成的三和弦，一共7组，分别是：

大三和弦（大三度+小三度，共3组）：1 3 5；　　　　　　4 6 1；5 7 2

小三和弦（小三度+大三度，共3组）：　　　2 4 6；3 5 7；　　　　　　6 13

减三和弦（小三度+小三度，共1组）：　　　　　　　　　　　　　　　　　　7 2 4。

记住了这几种和弦，当然也就记住了三度音程中，谁是大三度，哪个是小三度了。

下面，我们直接用这几种和弦，直接去推导五度。

（5）纯五度和三全音（减五度）

我们已经知道，三和弦里，最下面是根音，最上面是五音，即根音和五音相差五度。

所以，基本音中，五度共7组，分别是：

1 5；2 6；3 7；4 1；5 2；6 3；7 4

其中，前6组是由大三和弦或小三和弦组成的，音程是4个半音+3个半音=7个半音（大三和弦）或3个半音+4个半音=7个半音（小三和弦），只有最后1组（7 4）是3个半音+3个半音=6个半音。

所以，五度也是分大小的，是不是应该分别叫大五度和小五度呢？不不不，这个7个半音的五度叫纯五度，6个半音的五度叫减五度（也叫三全音，因为6个半音就是三个全音，所以叫三全音）。

为什么这次就不叫大五度小五度，而是叫纯五度和减五度了呢？不为什么，我嘴大我拳头大我有理行不行？

哈哈，开个玩笑。之所以叫纯五度和减五度，是因为这7组五度音中，半音数为7的占了绝大多数，半音数为6的（7 4）变成了一小撮，成了例外，所以绝大多数的那个可以看为是“纯”的，这极少数就变成了“减”（多数人的暴政啊哈哈哈），其实更重要的原因是，半音数为6的，不仅仅是五度音中存在这么一个例外（7 4），而且在以后要讨论的四度音中也存在这么一个例外（4 7，四度，半音数也为6）。就是说在四度和五度中这两个完全不同的度里，都存在某一个完全相同的音程，半音数都为6，这在其它音程中是不存在的。所以要把这个例外另归到一个体系中，而不能用大小来区分了。这样，五度就分为了6组纯五度和1组三全音（减五度）。以后会知道，四度也是分为6组纯四度和1组三全音（增四度）。

总结一下：基本音中，五度共7组，分别是：

三全音（即减五度，半音数为6，共1组）：　　　　　　　　　　7 4

纯五度（半音数为7，共6组）：1 5；2 6；3 7；4 1；5 2；6 3

纯五度是非常重要也是非常有趣的音程，有好多非常有意思的性质。

（5.1 五度相生律）

比如说，世界上最早的成熟的音律就是五度相生律（在中国叫三分损益法，在欧洲叫毕达哥拉斯律），方法就是从一个音开始，通过这个音的纯五度推出下一个音。所以中国就推出了传统的五音（12356），欧洲就推出了七音（1234567），而且可以用五度相生律推出所有的１２音（17音）。我曾经在一年前在知乎上写过

乎趴乎：五度相生律、纯律和十二平均律的原理及计算方法

如果有兴趣的可以看一看。

（5.2 五度圈和4152637）

而还有人发明了五度圈，用纯五度的关系可以研究各种五线谱问题及研究和弦。有兴趣的也可以在网上找一找，可能很有用的。

其实纯五度关系只记住一句话就可以了：4152637(发抖搜蕊拉米西，或者说FCGDAEB，都是一样的）。

这句话怎么记呢？再告诉大家一个方法：记不记得每组键是怎么构成的吗？五个黑键，仨一帮俩一伙，俩一伙在前，对应的白键是123，仨一帮在后，对应的白键是4567，对吧。好的，让123和4567站成两排，123在前排，4567在后排，如图八，让后排向前一步走，结果是123和4567混成一排，就变成了4152637。记住了吗？如果记住了，所有的纯五度你都已经记住了。

纯五度：4 1；1 5；5 2；2 6；6 3；3 7。基本音中的纯五度就这6组。那么7怎么办？转回4，7 4也是五度，但是已经不是纯五度，是减五度了。

或者说，4的五度（如果没特别说明，五度就是纯五度，就象说一度、八度、四度，不用特别强调这是“纯”的）是1，1的五度是5，5的五度是2，2的五度是6，6的五度是3，3的五度是7，那么7的五度呢？是#4，因为7 4是减五度，半音数为6，那么只要冠音升一个半音，即由4变成#4，这个音程就由6个半音变为7个半音，就变成了纯五度了，即7 #4是纯五度。几乎同理，什么音的纯五度是4呢？答案是b7，b7 4就是纯五度。

（5.3 所有音的（纯）五度关系，以及等音）

现在想问问大家：一组（葫芦娃）键上有几个音？如果你回答12个，因为有12个键，那么你是正确的；如果你回答17个，因为每个黑键都有两个音名和唱名，就可以写出17个音（其中每个黑键的2个音听起来完全相同），那么你还是正确的；但是其实是有35个音的：7个基本音，7个基本音可以升可以降，7个基本音可以重升还可以重降，这样一共35个音。其中的b和#大家很熟悉，叫“降”和“升”，表示在原来基本音基础上降半音和升半音。而bb是重降，x是重升，表示在原来基本音基础上降2个半音和升2个半音。

我们可以把乐理上所有的音（一共35个）的五度关系就用4152637给一网打尽了：

bb4 bb1 bb5 bb2 bb6 bb3 bb7

b4 b1 b5 b2 b6 b3 b7

4 1 5 2 6 3 7

#4 #1 #5 #2 #6 #3 #7

x4 x1 x5 x2 x6 x3 x7 你们看，一个4152637，快可以包打天下了。

顺便给出这35个音在键盘上的分布。大家看看，对于理解乐理会有进一步的帮助。其中，CDEFGAB就是1234567。

其中，只有（#5 b6）键上有两个音（叫两个等音），其余的键上都有三个音（叫三个等音）。从数学上可以这样理解：每组键盘上都有7 5=35个音，而键有12个，12 3=36，那就只好其中有一个特殊的键上少一个音了，而键盘黑白键最特殊的，就是这个（#5 b6）键了（其余任何一个键，都可以在键盘上找到它的对应键以及轴对称键）。

（5.4 五线谱上的升降号规律）

五线谱中，除了C大调之外，都会有升降号，我们看看是如何升降的。

（4152637用音名表示就是FCGDAEB）

先看看各调有几个升降号：

bF（降8），bC（降7），bG（降6），bD（降5），bA（降4），bE（降3），bB（降2），F（降1），C（不升不降），G（升1），D（升2），A（升3），E（升4），B（升5），#F（升6），#C（升7），#G（升8），#D（升9），#A（升10），#E（升11），#B（升12）

这个降8和升8到升12是怎么降和升的？这你真不用管了，涉及重降和重升了，大家真是用不到，但我可以推导出来，并验算过都是正确的。

看到了吧？降几个号到升几个号，有没有规律？无非就是（5.3）中的五度关系：

b4 b1 b5 b2 b6 b3 b7

4 1 5 2 6 3 7

#4 #1 #5 #2 #6 #3 #7

再看看从降7到升7是怎么降和怎么升的：

bC（降7362514），bG（降736251（去4）），bD（降73625（去41）），bA（降7362（去415）），bE（降736（去4152）），bB（降73（去41526）），F（降7（去415263）），C（不升不降，相当于去4152637），G（升4），D（升41），A（升415），E（升4152），B（升41526），#F（升415263），#C（升4152637）

想没想到，原来玩五线谱，翻来覆去，玩的就是4152637，呵呵。

（5.5 4152637和大三度、小三度）

很实用的一句话：4152637中，415就是大三度的根音，或者说根音是4、1、5的三度是大三度；而2637就是小三度的根音，或者说根音是2、6、3、7的三度是小三度。

（5.6 4152637和图解和声）

知乎里有一位大侠： @叶小胖 的《图解和声》，可以直接直观的在图上找到所有音（包括变化音）的五度关系、四度关系、大三度关系和小三度关系，相当实用。非常推荐喜欢乐理和和声学的朋友看，这是我通过知乎另一位大侠 @Raymond 强力推荐才看到的，在此特别感谢两位。这种图到最后总结时会给大家上图。现在我再手绘一张目前就可以用的：

其中，横向，从左向右都是纯五度，从右向左都是纯四度，斜向，从左下到右上都是大三度（反过来，从右上到左下都是小六度），从左上到右下都是小三度（反过来，从右下到左上都是大六度）。正三角通通是大三和弦，倒三角通通是小三和弦。一目了然吧？

纯五度和三全音先说到这里。后面内容，我们通过音程的转位去理解和讨论。

五、转位，互为转位的双胞胎及协和关系，再吐槽部分教授和教科书

再补一点知识：转位，大家都知道，是和弦用语。在音程中也是有类似的含义。

半音数之和=12的两个音程互为转位，反过来也一样：互为转位的两个音程的半音数之和为12。而且有一个重要的推论：互为转位关系的音程，协和性（和声效果）基本是一样的。 关于互为转位关系的音程协和性一致这个知识我还没从哪本乐理书上看到过，但对我来说非常的天经地义，并且很有用。

选任何一个音m和它的八度音（也为m），m m音程当然是纯八度，半音数当然为12。在这个八度内再任选一个音n（随便选，哪怕n=m都行），插入其中，得：（m n m），这样得到两个新的音程：（m n）和 （n m）。（m n）和 （n m）这两个音程就是互为转位关系，并且这两个音程之和当然是12了。 闭着眼睛举个例子吧，随便选两个音吧：#2和#4，那么（#2 #4）和（#4 #2）互为转位，它们半音数之和一定是12。

为此，我们列一个表，表一的内容前面也提到过，现在需要把这些内容都记住了才行。

　　　　　　　　　　　表一　互为转位音程的音程及半音数的对应关系

由表一可见：纯一度和纯八度互为转位关系；小二度和大七度互为转位关系；大二度和小七度互为转位关系；小三度和大六度互为转位关系；大三度和小六度互为转位关系；纯四度和纯五度互为转位关系；增四度和减五度（即三全音之间）互为转位关系。而增四度和减五度的半音数为6，即全音数为3，所以称为三全音。这个音程是极不协和的。 纯一度和纯八度极为协和；三全音极不协和；从小二度（极不协和）开始，协和性增加，一直到纯四度（协和）；从纯五度（协和）开始，协和性降低，一直到大七度（极不协和）。这些就是对音程协和性的全面总结。 从表一可以分析出，转位是有规律的： 纯纯互转（纯转纯，比如纯四度和纯五度）；大小互转（大转小，小转大，比如小三度和大六度）；增减互转（增转减，减转增，比如增四度和减五度）；一八互转、二七互转、三六互转、四五互转（比如大二度和小七度），即互转音程之和为九。掌握这些规律，哪些音程是互为转位的一目了然。

其实转位规律是有内在原因的：

互为转位的两个音程的半音数之和为12，就是说两个音程之和是纯八度，那么几度之和是八度呢？是九啊（回头看看吐槽部分度和半音、“派”的对比，再用“派”算一下，算完再转为度，就是九。即度数上是一八互转、二七互转、三六互转、四五互转。

那么为什么大小互转呢？两个音程，总和一定（12），你大一些我就只能小一些，不大不小就哥俩好，纯纯互转吧。

这个表是我自己做的，非常的得意。因为如果大家都抄一抄这个表，相信半音数与各度之间的对应关系也就都记住了，并且连它们的转位的度位及半音数也都记住了。有了这张表，以后的各个音程及分析就太容易了。轻舟已过万重山啊。

关于互为转位关系的音程协和性一致这个结论，来源于我个人的经历和思考。我知道音乐作曲有四声部作曲课程，而我经历过的是在四声部合唱团。无论哪个合唱团，指挥都会让团员进行和声练习，其中一定有一项练习是这样的：指挥让男中唱1，女中唱3，男高唱5，女高唱1，这样就产生了最经典的主和弦的四部和声，1351，效果当然也会非常之好，很正常吧？都这样吧？

但我看来就不是这么回事了，因为女声天生比男声高一个八度的，所以如果按统一的音高做标准，就不再是1351，而是男中低音1，女中中音3（高出男声八度），男高低音5，女高高音1（高出男声八度），跨了两个八度，并且由低到高的音是：低音1（男中）、低音5（男高）、中音3（女中）、高音1（女高），请问各位，这是什么和弦或和弦转位？什么都不是嘛！但是协和性不止是理论问题，也是实践问题，耳朵没骗人，这种训练，产生的协和性极强，完全是主和弦的效果嘛。几百年合唱音乐人都一直做这种训练，非常有效。

为什么会这样？其实大家想没想过，从协和性或者说和声效果的角度看，某个音和它的八度音，除了音高不一样，性质是一样的。所以这个训练无非就是1 3 5这三个音同时发音而已，不用怎么考虑这个音在哪个区（哪组葫芦娃里）。无论是1 3 5，还是1 3 5或是1 3 5，或者5 1 3、3 5 1，这个人实际和声效果看都是主和弦的效果（除了音高有不同）。

回头看音程的转位，2 4和4 2互为转位，一个是小三度一个是大六度，和声效果如何？无非都是把2和4这两个音同时按出来或唱出来嘛，只是这两个音程中两个2相差了八度，而八度音的性质是一样的，所以这两个音程的效果其实本质上就是一样的。

在我看来，所有互为转位音程的协和性都是一样的，甚至我们可以说，互为转位的音程是镜像对称（全等，手性），和声效果是一样的。

我看到有不少知名学者编的各个级别的教科书上说：纯五度音程是协和的，纯四度音程不协和，我就在心里笑：这都胡说什么呢？我是完全听不出纯四度音程不协和。即使从和弦理论上分析，大三和弦与小三和弦有那样的和弦效果是与根音与五音相差纯五度，而纯五度协和是分不开的（不信你们就听减三和弦多难听就知道了），可只要三和弦转位，无论是第几转位，根音与五音都是相差纯四度（正好根音与五音的音程转位了），这就不协和了？听没听过效果啊？反正在我看来和听起来，这就是大和弦或小和弦的效果。连前面说过的和声训练相差两个八度的“非和弦”我都认为这就是很标准的主和弦，转位怎么了？

我知道有人会说：转位差别很大啊，否则为什么要特别区分转位，特别分为三和弦、三六和弦、四六和弦、七和弦……我告诉你，这是因为原位和弦以及每种转位和弦在钢琴上的指法完全不同，所以必须每种转位都特别区分和特别训练，就是说特别分各种转位是弹琴实践操作所需要的。但是没发现不管是大三和弦、小三和弦还是减三和弦、增三和弦，每种和弦的性质都是不同的，可它们原位的指法都是一样的、第一转位（三六和弦）的指法也都一样、第二转位（四六和弦）的指法也都一样么？总之分析各种和弦转位，只是为了钢琴弹奏的需要而已。

再埋汰一下所谓的纯四度音程不协和，好多学者会讲纯五度的比例是3:2，纯四度的比例是4:3，所以要差一些。那是这位砖家真不知道各种音律怎么推导，是真没有数理分析的能力。其实我要告诉你纯四度的比例可以表示为2:3呢？我要告诉你纯四度的比例还可以表示为1:3 呢？比例还比纯五度差么？你信不信？不信你傻，呵呵。

其实教科书上胡说八道的地方不少，比如说好多书上讲：增减音程极不协和，那么我想问问减二度和增七度极不协和么？知不知道减二度和增七度的等音程是什么么？是纯一度和纯八度(^_^)，世界上还有比它们更协和的音程么？

好了，屠龙刀在手，接下来我们把剩下的音程全部拿下，势如破竹！