阿基里斯为什么永远追不上先行的乌龟？

致评论区的“大聪明们”，你们依然没有明白芝诺提出这个看似“荒谬”问题的背后究竟想表达的是一种什么深刻的思考。

我们可以不相信哲学家们的理论，但永远都不要小瞧哲学家们的智商。

芝诺要质疑的是：物理范畴怎么就可以被表达为数学范畴的？

极限/无穷小/高阶无穷小，这些都依然是数学概念，数学概念在数学领域内，当然是逻辑自洽并且极度严谨的。

但问题是，物理概念怎么就能表达为数学概念的？

这个过程是如何“做”到的？

要注意，物理现象是客观真实存在的。数学概念（即理论概念）却不是真实存在的。我们熟知的数学概念和范畴，都只存在于“脑中世界”的高度抽象纯粹逻辑产物

在数学中，我们可以轻易的得到“无穷大”或者“无穷小”这样的概念，并且对其进行严格的定义。于是，人们就开始理所应当的拿着这人为定义的来自“脑中”的概念，再反过来去解释现实。

这与定义出来一个来自脑中的全知全能的上帝来解释真实的世界又有何本质的区别区别？

在哲学家看来，通过一套理论不断自我新发明的概念，来弥补理论原本对世界解释的欠缺。这种行为，本质上与宗教是并无二致的。差别只在于准确性上的提高罢了。

啊喂，现实的物理世界中可没有无穷大/无穷小/极限/高阶无穷小等等等等这些实体存在

只能在脑中存在的概念，若不能在现实中找到对应的实体，这个可靠性就是始终存疑的

举个例子：当你用“速度”这个数学概念来讲述物理问题时，何曾思考过，现实中真的有“速度”这个概念么？

而在后来真的有一个人思考了。“速度”这个数学概念，是究竟如何被我们用现实中的物理概念一步一步做出来。

而正是对“数学概念”——“物理实体”这个转化过程进行的质疑和思考，使得他提出了旷世的理论

从哲学的角度上讲，这个

问题折射出了，现代科学的一个底层缺陷：

即数学作为一个工具，其工具的边界在哪？

这是一个非常晦涩的说法，我们不妨深入浅出一下。

当使用数学范畴对现实世界进行描述时，有一步很关键的步骤被我们默认接受了，这个步骤在物理学中发生的最为直接。

牛顿正是默认的使用了这个步骤，得以创立了伟大的牛顿力学。

而，几乎只有爱因斯坦注意到了这个问题，并且写在了他《相对论》小册子的第一章

物理范畴需要与数学（几何）范畴发生映射。

这是非常非常非常重要的。

举个例子：

我和你，在客观上之间存在距离。这是一个物理概念，我和你有距离。

但是这种物理概念，是无法被人精确使用的。我们需要使用一个过程，将这个物理概念变成数学概念，也就是距离需要使用一个数字来表达。

这个过程如何进行的呢？爱因斯坦指出了这个步骤转化的关键：在于使用一个小量杆进行重复表达，于是，在物理上的空间距离，通过一个量杆的重复递进，得到了一个数学概念——这个概念我们通常称为“米”

到此，物理范畴才转化为了数学（几何）范畴，并放进了“数学”这个工具中进行逻辑推演和表达

那么问题来了，这个步骤有没有缺陷呢？

爱因斯坦正是对这个过程的推演，得到了狭义相对论，也就是我们熟知的前进的火车中，光速不变引发的一系列问题。

光就是那个转化过程中需要使用的量杆，若物理范畴转化为数学范畴，这个过程中，使用的量杆没有问题，那么就一定顺势得到狭义相对论的表达。

那么在这个过程中，还有一个问题被忽视了。

就是数学的等价性和连续性，物理上是无法得到满足的。

从数学上讲，1和0.1和0.001以及0.000000000001，本质上没有任何区别，它们是绝对的等价的客体，通过乘以一个数，这几个对象，是可以完全等价的进行转换的。

也就是说，完全可能存在一个比例尺不同的数学，与我们的数学进行丝滑的转换（只需要通过一个比例尺）

但是现实中的物理无法满足数学范畴的这个特性：物理中的大和小，是不等价的。你问为什么，你可以回答是直觉，不过量子力学和相对论的冲突我想你也听说过。（量子力学和相对论的矛盾实质就是物理范畴在不同尺度下不等价，数学范畴在不同尺度下等价）

其次，数学范畴中，对象与对象是连续的，0.1和0.10000000000001中间依然可以均匀的存在无数个数。

这与第一条“等价性”其实是一个意思（你可以自己想想为什么，我们可以通过等价性得到连续性）

不过相信你也知道，物理中的不连续性。这意味着，物理对象无法像数学对象一样，可以无限细分下去，数学上0.1可以一直分下去，但是现实世界不可以无限细分。

所以我们回过头来看阿基里斯的问题，其实就很清楚了：

这个问题的关键，就在于使用数学工具来描述物理现象，但是没有考虑到数学工具的局限性，在物理现象中无法成立：

物理现象中，无法存在永远细分下去的时间，因此，就算你拥有一个帧率极高的相机，你也无法把时间无限细分下去，终有一个质变的瞬间，上一刻无限接近，下一刻反超。

那个永远无法追上的乌龟，只能存在“无限可分的数学世界中”，因为数学世界，一切对象都等价且连续。

另外说一点，正是因为以上思想，在相对论和量子力学的不可统一性上，我会坚定的站在爱因斯坦一方。因为爱因斯坦的相对论的出发点，已经探究到了“用数学工具描述物理”这种手段的哲学实质的深度上了。思想上已经无可挑剔，要推倒相对论，难度几乎等价于创立一种新的“数学”工具。