不定积分符号为什么是∫dx？为什么要加一个dx？是不是多此一举了？

看来有必要给初学者讲讲不定积分究竟是怎么回事了。。。

牛顿（和莱布尼兹）两位天尊，那一代人搞微积分的初衷是，找到一种方式，通过描述局部的线性性质，来表现非线性的整体的性质。

什么意思呢，就是通过函数上某一点的导数，就能知道函数在这一点的性质，从而推广到整个定义域，知道函数在整个定义域上的性质，比如单调性啦，凹凸性啦，奇偶性啦，周期性啦，等等。

于是牛顿（和莱布尼兹）老爷子发现，在某一点，自变量增量 非常小的时候，这一点切线的增量 和 是呈线性关系的，也就是说 是 的线性函数。也就是我们知道的

这是一个线性函数。

如果不仅仅局限于一点，将其推广到整个定义域的所有可导点，就是

既然都这么写了，所有导数值 的集合就是导函数呗，于是就变成了

也写作我们熟知的形式 。

但是我们既然定义了微分这种运算，必然要定义一个逆运算的，如同加与减，乘与除。我们知道了 ，怎么求 呢？

既然微分运算符是 ，我们不妨规定一个运算符 ，这个运算符是微分的逆运算，有

就是这么来的。

不定积分作为工具刚开始使用时，没有人想到它其实和面积能扯上关系，只是单纯地作为微分的逆映射。直到后面的定积分。

此时单纯善良的人们还不知道曲边梯形的面积居然和原函数有关。数学家给出了一个求面积的极限式

当时还不知道有定积分这个东西，想求面积就得求这个极限。

结果牛顿和莱布尼兹同时（各自独立）发现了微积分基本定理，即牛-莱公式，将曲边梯形的面积和原函数联系在了一起，就是

想求原函数的增量，先求原函数！原函数咋求呢？用不定积分！求完再代入不就行了！不如我们研究一种表示方法，来统一这一类问题的表示方式吧！

于是定积分来了。

所以不定积分和面积没任何关系，不定积分只是一个逆运算，是牛莱公式将曲边梯形面积和原函数联系到一起的。

换句话说，只是求面积需要用到这个逆运算，这个求面积的方法叫定积分，只有定积分和面积有关系。

定积分 中的 恰好是面积的微小增量，和不定积分里的线性函数形式一致。这或许可以称为一种美丽的巧合，是数与型的浪漫邂逅。

但看似巧合的二者之间，的确蕴含着深刻的纽带。这是可以被严格证明的，那么牛莱公式的证明留给读者作为习题（

（只想单纯了解的初学者看到这就可以了）

补充说明

现根据友友们提出的各种珍贵建议，对本篇部分争议较大甚至有误的内容进行补充说明。

关于微积分基本定理和不定积分“鸡与蛋”的关系

@梦在远方Cc连 给出的说法是准确且符合事实的。事实上莱布尼兹在研究曲边梯形面积的时候先发现了面积和原函数之间的关系，然后为了求解原函数才有的不定积分这一概念。

而且相对于牛顿的“流数术”，莱布尼兹的“微积术”明显比牛顿的成果更加完善，且莱布尼兹的符号系统远远优于牛顿的符号系统。事实上微积分体系之所以能够完善，全靠贝克莱，伯努利，欧拉，拉格朗日，柯西等一众后世数学家，在莱布尼兹的地基上添砖加瓦。所以在微积分这一块，莱布尼兹的贡献要大于牛顿，之前只提牛顿是有失偏颇的。

但是牛顿研究流数术是为了解决经典力学的问题，其完备性和严谨性显然不能与全职数学家的莱布尼兹相比。所以评价二者理论功底孰优孰劣是无意义甚至有害的。

关于积分号 到底是不是逆运算符的问题

@梦在远方Cc连 对 来源的解释是正确的！这一点在莱布尼兹手稿中有直接体现。

关于微分的逆运算符，有更加一般的形式，在此解释说明：

事实上微分运算符 是一个线性映射，也就是说微分运算是一个线性变换，那么积分运算就是这个线性变换的逆变换。我们举例说明：

之前之所以不这么写是因为想快速建立 与 之间的关系，过多阐述积分算子没有意义。