如果不承认选择公理，现代数学会变成什么样子？

基本上没得玩了。

选择公理跟大量定理是等价的，不承认选择公理，意味着这些这些定理全都要推翻，特别是代数和集合论会成为重灾区。

Wikipedia^[1]上列出了选择公理的等价定理：

一、集合论

1. Tarski选择定理：对于任意无限集 ，存在一个双射 。
2. 基数的三歧性：对任意两个给定集合，要么它们基数相同，要么其中一个的比另一个小。
3. 给定两个非空集合，必然存在某个集合到另一个的满射。
4. 任意非空集族的Cartesian积非空。
5. König定理：在有定义的情况下，一列基数的和严格小于某个更大的基数。
6. 良序定理：每个集合上都有一个良序。
7. 任意偏序集内的每个元素都是某个没有严格上界的全序子集的极小元。
8. Zorn引理：如果非空偏序集 内每条链都有上界，那么 至少有一个极大元。
9. Hausdorff极大原则：每个偏序集有一个极大链。
10. Tukey引理：任意非空的具有有限特征的集族，在包含关系下有一个极大元。
11. 反链原则：每个偏序集有一个极大反链。

二、代数

1. 每个向量空间都至少有一组基。
2. Krull定理：每个非零幺环都至少有一个极大理想。
3. 每个集合上都有一个群结构。
4. 每个自由Abel群都是投射的。
5. Baer判据：每个可除群都是内射的。

三、泛函分析

1. 实数域 上赋范向量空间的对偶中的闭单位球都有一个极端点。

四、点集拓扑

1. 任意个联通拓扑空间的Cartesian积是联通的。
2. Tychonoff定理：任意个紧致拓扑空间的积是紧致的。
3. 在积拓扑下，子集的积的闭包等于闭包的积。

五、数理逻辑

1. 设 是一阶逻辑的语句的一个集合， 是 的一致子集，那么 包含在某个极大一致子集中。

六、图论^[2]

1. 每个连通图都有一个生成树。

七、范畴论

1. 每个集合都是集合范畴 内的投射对象。^[3]
2. 每个小范畴都有一个骨架。
3. 如果两个小范畴弱等价，则它们等价。
4. Freyd伴随函子定理（推论）^[4]：满足恰当解集条件的完备小范畴上任意连续函子都有一个左伴随。

显然，尽管承认选择公理，会导致分球怪论等看上去十分违反直觉的结论，但是不承认选择公理代价更大：非空集合的Cartesian积可能是空集，向量空间不一定有基，幺环不一定有极大理想，连通（紧致）拓扑空间的积不一定连通（紧致）……这就根本没得玩了。